Hvordan sjekke om et tall er primtall

Trial divisjon

1. 1
   Trial divisjon er den enkleste testen for primality. Den er basert på definisjonen av et primtall. En rekke er prime hvis den ikke har noen divisors andre enn seg ​​selv og en.
2. 2
   La n være nummer du vil teste.
3. 3
   Dele n av to. Hvis resultatet er et helt tall, da er n ikke prime fordi 2 er en faktor på n. Se på det siste sifferet, og hvis det er et partall, er det delelig med 2. Hvis ikke, fortsetter.
4. 4
   Dele n av tre. Hvis resultatet er en, da er n ikke prime fordi tre er en faktor på n. Hvis ikke, fortsetter.
5. 5
   Fortsett å dividere n ved hver tall mellom 2 og n ^1/2 inkluderende. Hvis noen av dem dele jevnt, så n er ikke prime fordi du fant en faktor. Hvis n har ingen faktorer mindre enn kvadratroten, så n er primtall. Det er tilstrekkelig å kontrollere bare divisorer mindre enn eller lik n. ^1/2 fordi hvis n = a * b, og a og b ikke kan overskride kvadratroten av n.
6. 6
   Dette kan optimaliseres ved å hoppe testen divisjon med tallene som er åpenbart ikke prime. For eksempel, hoppe over hver til og med tall som er større enn to, og hvert multiplum av tre større enn tre.

Fermats lille teorem

1. 1
   Teknisk sett er Fermats test en test for compositeness, snarere enn for primeness. Dette er fordi, hvis testen mislykkes, er antallet sikkert sammensatt, men hvis testen går, er tallet svært sannsynlig prime, men kan muligens være et sammensatt pseudoprime.
2. 2
   La n være antall for å teste for primality.
3. 3
   Velg hvilket som helst helt tall mellom 2 og et N -1.
4. 4
   Beregn en ⁿ (mod n).
   • Beregne dette effektivt ved hjelp kvadrere stedet for multiplikasjon når det er mulig. Det vil si, beregne tre ¹⁰⁰ som (((((((3 ²⁾ * 3) ^{2) 2) 2)} * 3) ^{2) 2,} og ikke som 3 * 3 * 3 * 3 *... * 3. Redusere modulo n etter hver operasjon.
5. 5
   Sjekk om en ⁿ = a (mod n). Hvis ikke, er n. Hvis sant, er n sannsynlig prime. Gjenta testen med forskjellige verdier for en kan øke tilliten i utfallet, men det er sjelden sammensatte tall som tilfredsstiller de Fermat tilstand for alle verdier av en. Disse pseudoprimes er Carmichael tall og den minste er 561.

Miller-Rabin

1. 1
   Mølleren-rabin test fungerer på samme måte Fermats men håndterer patologiske tilfeller som de Carmichael tallene bedre.
2. 2
   La n være et oddetall for å teste for primality.
3. 3
   Faktor alle krefter 2 fra n -1, uttrykker det i form n -1 = 2 ^s * d hvor d er merkelig.
4. 4
   Plukk en tilfeldig nummer en mellom 2 og n -1.
5. 5
   Beregn en ^d (mod N). Hvis en ^d = 1 eller -1 (mod N), deretter n passerer Miller-Rabin test og er sannsynligvis primtall.
6. 6
   Hvis ikke, er å beregne en ^{2-D, A 4 d,}... og en ^{2 s -1 d.} Hvis en av disse er lik -1 (mod N), deretter n er også passerer og er sannsynligvis primtall.
7. 7
   Hvis n passerer miller-rabin test for noen verdi av en, prøv en annen en å bedre tilliten til resultatet av testen.
8. 8
   Hvis n er faktisk, vil det passere med en hvilken som helst verdi av en. Hvis n er sammensatt, vil den mislykkes i minst tre fjerdedeler av verdiene av en.