Hvordan ta derivater i kalkulus

1. 1
   Forstå den deriverte notasjon. De følgende to merknader er den vanligste, men det finnes utallige andre som kan bli funnet på Wikipedia.
   
   • Leibniz notasjon Denne notasjonen er mest vanlig når ligningen innebærer y og x. dy / dx betyr bokstavelig talt "den deriverte av y med hensyn på x." Det kan være nyttig å tenke på det som Δy / Δx for verdier av x og y som er uendelig forskjellig fra hverandre. Denne forklaring gir seg til grensen et derivat: begren _{h-> 0} (f (x + h)-f (x)) / time. Når du bruker denne notasjonen for den andre deriverte, må du skrive: d ² y / dx ^2.
   • Lagranges Notation Den deriverte av en funksjon f er også skrevet som f '(x). Denne notasjonen uttales "f prime av x". Denne notasjonen er kortere enn Leibniz notasjon, og er nyttig når man ser på den deriverte som en funksjon. For å danne høyere ordens-derivater, er å legge en annen "'" til "f", slik at den andre deriverte ville være f'' (x).
2. 2
   Forstå hva den deriverte er, og hvorfor det brukes. Først av alt, for å finne stigningstallet for en lineær graf, er ​​to punkter på linjen tatt, og deres koordinater og plugget inn i ligning (y ₂ - y ₁₎ / (x ₂ - x _1). Men dette kan bare brukes med lineære grafer. For kvadratiske likninger og over, vil linjen være buet, vil så å ta den "forskjell" av to punkter ikke være nøyaktig. For å finne helningen av en tangent til et bøyd graf, blir tatt to punkter, og som er koblet til standard-ligningen for å finne helningen av en buet graf: [f (x + dx) - f (x)] / dx. Dx står for "Delta x", som er forskjellen mellom de to x koordinatene til de to punkter fra grafen. Legg merke til at denne ligning er den samme som ₍₂ y - y ₁₎ / (x _to - x _1), bare i en annen form. Siden det er allerede kjent at resultatet blir unøyaktig, er en indirekte tilnærming anvendt. For å finne stigningstallet til tangenten i (x, f (x)), må dx nærme 0, slik at de to punktene som ble tatt flette inn et enkelt punkt. Du kan imidlertid ikke dele på 0, så etter at du kobler til to punkt verdier, må du bruke factoring og andre metoder for å avbryte av dx i bunnen av ligningen. Når du har gjort det, satt dx til 0 og løse. Dette er helningen på tangenten i (x, f (x)). Den deriverte av en ligning er det generiske ligningen for å finne bakkene i noen tangent til en graf. Dette kan virke ekstremt komplisert, men det er noen eksempler under, noe som vil bidra til å avklare hvordan du skaffer den deriverte.
   

Eksplisitt differensiering

1. 1
   Bruk eksplisitt differensiering når ligningen allerede har y til den ene siden.
   
2. 2
   Plugg ligningen i ligningen [f (x + dx) - F (x)] / dx. For eksempel, hvis den var ligningen y = x ^2, ville den deriverte blir [(x + dx) ² - x ^2] / dx.
   
3. 3
   Utvid og faktor ut dx å danne ligningen [dx (2x + dx)] / dx. Nå kan du utjevne de to dx er på topp og bunn. Resultatet er 2x + dx, dx og da nærmer seg 0, er den deriverte 2x. Dette betyr at helningen av en hvilken som helst tangent på grafen, y = x ² er 2x. Bare plugg inn x-verdien for det punktet der du ønsker å finne skråningen.
   
4. 4
   Lær mønstre for å utlede lignende typer ligninger. Nedenfor er noen.
   
   • Den deriverte av noen makt er makt ganger verdien til makten minus en. For eksempel er den deriverte av x ⁵ 5x ^4, og den deriverte av x er 3,5 x ^{3,5 2,5.} Hvis det allerede er et tall foran x, bare multiplisere det med makt. For eksempel er den deriverte av 3x ⁴ 12x ^tre.
   • Den deriverte av en hvilken som helst konstant er null. Så, er den deriverte av 8 0.
   • Den deriverte av en sum er summen av de enkelte derivater. For eksempel, den deriverte av x ³ + ² er 3x 3x ² + 6x.
   • Den deriverte av et produkt er den første faktoren ganger den deriverte av den andre faktor pluss den andre faktoren ganger den deriverte av den første. For eksempel, den deriverte av x ³ (2x + 1) er x ³ (2) + (2x + 1) ^2-3x, som er lik 8 x ³ + 3x ^2.
   • Den deriverte av en kvotient (si, f / g) er [g (deriverte av f) - f (derivat av g)] / g ^to. For eksempel, den deriverte av ⁽² x + 2 x - 21) / (x - 3) er (x ² - 6x + 15) / (x - 3) ^2.

Implisitt derivasjon

1. 1
   Bruk implisitt derivasjon når ligningen ikke kan enkelt skrevet med y på den ene siden alene. Selv om du gjorde skrive det med y på den ene siden, ville computing dy / dx være kjedelig. Nedenfor er et eksempel på hvordan du ville løse denne type ligningen.
   
2. 2
   I dette eksempelet x ² y + 2y ³ = 3x + 2y, erstatte y med f (x), så du kommer til å huske at y er faktisk en funksjon. Ligningen blir da x ² f (x) + 2-[f (x)] = ³ 3x + 2f (x).
   
3. 3
   For å finne den deriverte av denne ligning, differensiere (et stort ord for å finne den deriverte) på begge sider av ligningen med hensyn på x. Ligningen blir da x ² f '(x) + 2xf (x) + 6 [f (x)] ² f' (x) = 3 + 2f '(x).
   
4. 4
   Erstatte f (x) med y igjen. Være forsiktig med å gjøre det samme med f '(x), som er annerledes enn f (x).
   
5. 5
   Løse for f '(x). Svaret på dette eksempel kommer ut til (3 - 2xy) / (x ² + 6y ^2-2).
   

Høyere ordens derivater

1. 1
   Tar en høyere orden derivat av en funksjon betyr bare at du tar den deriverte av den deriverte (for bestilling av to). For eksempel, hvis det ber deg om å ta den tredje orden derivat, bare ta den deriverte av den deriverte av den deriverte. For noen ligninger, vil de høyere ordens derivater nå 0.
   

Kjerneregelen

1. 1
   Når Y er en differentiable funksjon av z, og z er et differentiable funksjon av x, y er en sammensatt funksjon av x, og den deriverte av y med hensyn til x (dy / dx) er (dy / DU) * (DU / dx). Kjeden regelen kan også være sammensatte makt ligninger, som dette: (2x ⁴ - x) ^3. For å finne den deriverte, bare tenke som produktet regelen. Multipliser likningen med kraften og redusere effekten med en. Deretter multipliseres ligning med den deriverte av innsiden av den kraft (i dette tilfellet, 2 x ^ 4 - x). Svaret på dette problemet kommer ut til 3 (2x ⁴ - x) ² (8x ³ - 1).