Wkono

Hvordan plotte Mandelbrot Set for hånd

Mandelbrotsettet er bygget opp av punkter er plottet på en sammensatt plan for å danne en fraktal: en slående fasong eller form, hvor hver del er faktisk en miniatyr kopi av hele. Den utrolig blendende bilder skjult i Mandelbrot Set var mulig å se på 1500-tallet takket være Rafael Bombelli forståelse av imaginære tall - men det var ikke før Benoit Mandelbrot og andre begynte å utforske fraktaler ved hjelp av at hemmeligheten universet ble avslørt.


Nå som vi vet at det finnes, kan vi nærmer oss det på en mer primitiv måte: hånd. Her er en metode for visning av en rå gjengivelse av settet, bare for det formål å forstå hvordan det gjøres, du vil da få en mye dypere forståelse for gjengivelser som du kan gjøre ved hjelp av de mange dataprogrammer tilgjengelig, eller at du kan vise på og.

Trinn

Hvordan plotte Mandelbrot Set for hånd. Etikett (også i sort) midt square (0, 0).
Hvordan plotte Mandelbrot Set for hånd. Etikett (også i sort) midt square (0, 0).
  1. 1
    Forstå grunnleggende formelen, ofte uttrykt som z = z 2 + c. Dette betyr ganske enkelt at for hvert punkt i Mandelbrot universet vi ønsker å se, holder vi beregne z før en av to forhold inntreffer, så vi farge det for å vise hvor mange beregninger vi har gjort. Ikke fortvil! Dette vil bli klart i de neste trinnene.
  2. 2
    Få tre forskjellige farger, eller fargestifter, eller filt-tipped markører, pluss en svart eller for å gjøre disposisjonen. Grunnen til at vi ønsker tre farger er fordi vi vil gjøre en første tilnærming med ikke mer enn tre iterasjoner (pass, eller med andre ord, bruk av formelen opp til tre ganger per punkt):
  3. 3
    Med svart markør, tegne en stor tic-tac-toe bord, tre av tre kvadrater, på et stykke papir.
  4. 4
    Etikett (også i sort) midt square (0, 0). Dette er den konstant (c) verdien av poenget i nøyaktig midt på plassen. Nå la oss si hver rute er to enheter bred, så legg og / eller trekke to til / fra x-og y-verdier av hver firkant, med x blir det første tallet og y blir det andre tallet. Når du er ferdig, vil det se ut som det du ser vist her. Når du følger cellene tvers, bør y-verdiene (den andre tallet) være den samme, når som følge cellene ned, bør de x-verdier (det første tallet) være den samme.
  5. 5
    Beregn første pass, eller gjentakelse, av formelen. Du, som datamaskin (egentlig var den opprinnelige betydningen av ordet "en person som beregner") kan gjøre dette selv. La oss starte med disse forutsetningene:
    • Utgangsforbindelsen z-verdien av hver rute er (0, 0). Når den absolutte verdien av z, for et gitt punkt, er større enn eller lik 2, dvs. punktet (og dens tilsvarende firkantet) sies å ha unnsluppet Mandelbrotsettet. Når det skjer, vil du farge plassen i henhold til antall gjentakelser av formelen du har brukt på det punktet.
    • Velg farger du vil bruke for en pass, to pass, og passerer tre. La oss anta rødt, grønt og blått, henholdsvis for anvendelsen av denne artikkelen.
    • Beregne verdien av z for øverste venstre hjørne av tic-tac-toe bord, forutsatt en start z verdien 0 0 jeg eller (0, 0) (se Tips for en bedre forståelse av disse representasjoner). Vi bruker formelen z = z 2 + c som skissert i første trinn. Du vil raskt se at i dette tilfellet, z 2 + c er simpelthen C Z 2 + c>, siden null i andre er fremdeles null. Og hva er c for denne plassen? (-2, 2).
    • Bestemmelse av den absolutte verdi av dette punkt, og den absolutte verdi av et komplekst tall (a, b) er kvadratroten av en 2 + b 2. Nå, siden vi skal sammenligne dette med en kjent verdi: 2, kan vi unngå å ta kvadratrøtter ved å sammenligne en 2 + b 2-2 februar, som vi vet er lik 4. I denne beregningen a = -2 og b = 2.
      • ([-2] 2 + 2 2) =
      • (4 + 4) =
      • 8, som er større enn 4..
    • Det har unnsluppet Mandelbrot set etter den første beregningen, siden den absolutte verdien er større enn to. Farge det med den du valgte for pass en.
    • Gjør det samme for hver rute på brettet, med unntak av sentrum-torget, som ikke vil unnslippe Mandelbrot satt av tredje pass (eller vil det noen gang unnslippe). Så du har bare brukt to farger: pass en farge for alle de ytre rutene, og pass 3 farge for midten torget.
  6. 6
    La oss prøve en firkantet tre ganger større, ni av ni, men fortsatt å holde maksimalt 3 iterasjoner.
  7. 7
    Start med den tredje rad ned, fordi det er der det blir interessant med en gang.
    • Det første elementet, (-2, 1) er større enn 2 (fordi (-2) 2 + 1 2 viser seg å være fem) så la oss maling som en rød, som det unnslipper Mandelbrot set på første pass.
    • Det andre elementet, (-1,5, 1) viser seg ikke å være større enn to. Bruk av formelen for absolutt verdi, x 2 y + 2, hvor x = -1,5 og y = 1:
      • (-1.5) 2 = 2,25
      • 1 2 = 1
      • 2,25 + 3,25 = 1 og mindre enn 4, slik at kvadratroten er mindre enn 2.
    • Så vi gå videre til vår andre pass, beregne z 2 + c bruker snarveien (x 2 2-y, 2xy) for z 2 (se Tips for hvordan denne snarveien er avledet), fortsatt med med x = -1,5 og y = 1:
      • (-1.5) Februar 2-1 blir 2,25 til 1, som blir 1,25;
      • 2xy, siden x er -1,5 og y er 1, blir 2 (-1,5), som gir -3,0;
      • Dette gir oss az to av (1.25, -3)
      • Nå legger c for denne cellen (legg x til x, y til y) ettergivende (-0,25, -2)
    • La oss teste om sin absolutte verdi er nå større enn 2:. Beregn x 2 + y 2:
      • (- 0,25) 2 = 0,0625
      • -2 2 = 4
      • 0,0625 + 4 = 4,0625, kvadratroten av noe som er større enn 2, slik at det har rømt etter den andre iterasjon: vår første grønne!
      • Som du blir kjent med beregningene, vil du noen ganger være i stand til å si hvilke som unnslippe Mandelbrot sett bare ved å kaste et blikk på tallene. I dette eksemplet har Y-komponent en styrke på 2, som når den kvadrerte og tilsatt til den kvadrerte verdi av det andre nummer, vil være større enn fire. Alle tall som er større enn 4 vil ha en kvadratrot større enn 2. Se tips nedenfor for en mer detaljert forklaring.
    • Det tredje elementet, med ac verdi (-1, 1) ikke slipper første pass: Siden både 1 og -1 når kvadrat er 1, x 2 + y 2 er to. Så vi beregne z 2 + c, bruker snarveien (x 2 2-y, 2xy) for z 2:
      • (-1) 2 -1 2 blir 1-1, som er 0;
      • 2xy er da 2 (-1) = -2;
      • z 2 = (0, -2)
      • legge c får vi (0, -2) + (-1, 1) = (-1, -1)
    • Det er fortsatt den samme absolutte verdi som før (kvadratroten av to, om 1,41), fortsetter med en tredje iterasjon:
      • ([-1] 2) - ([-1] 2) blir 1-1, som er 0 (nok en gang)...
      • men nå 2xy er to (-1) (-1), som er positiv 2, hvilket gav 2-az verdi av (0, 2)
      • legge c vi får (0, 2) + (-1, 1) = (-1, 3), som har en a 2 + b 2 av 10, mye større enn 4.
    • Derfor er denne slipper unna også. Color cellen inn med ditt tredje farge, blå, og gå videre til den neste, siden vi har gjennomført tre iterasjoner med dette punktet.
      • Det faktum at vi bruker bare tre farger blir tydelig som et problem her, siden noe som rømmer etter bare tre iterasjoner er farget det samme som (0, 0) som aldri unnslipper, selvsagt vi fortsatt ikke vil se noe i nærheten av den Mandelbrot "bug" på dette nivået av detaljer.
  8. 8
    Fortsette å beregne hver celle før den har rømt, eller du har nådd maksimalt antall gjentakelser (antall farger du bruker: 3 i dette eksemplet), noe som medførte du farger det. Her er hvordan ni av ni matrise ser etter tre gjentakelser i hver rute... Ser ut som vi er inne på noe!
  9. 9
    Iterate samme matrise igjen med flere farger (iterasjoner) for å avsløre de neste lagene, eller bedre, utarbeide en mye større matrise for et mer langsiktig prosjekt! Du får mer nøyaktige bilder av:
    • Øke antall celler, og dette har 81 celler per side. Legg merke til likheten til 9 av 9 matrisen ovenfor, men mye jevnere kanter på sirkelen og ovale.
    • Øke antall farger (iterasjoner), dette har 256 nyanser hvert bestående av rødt, grønt og blått for totalt 768 farger i forhold til tre. Legg merke til at du nå kan se omrisset av den velkjente Mandelbrot "lake" (eller "bug", avhengig av hvordan du ser på det). Ulempen er hvor lang tid det tar, hvis du kan beregne hver iterasjon i 10 sekunder, som er ca 2 timer for hver celle i, eller nær, Mandelbrot innsjøen. Selv om det er en relativt liten del av det 81 av 81 matrise, ville det fortsatt trolig ta et år å fullføre den, selv om du jobbet med det i flere timer hver dag. Det er der silisium type datamaskin kommer i hendig.

Tips

  • Hvorfor z 2 = (x 2-y 2, 2xy)?
    • Til to komplekse tall som (a, b) med (c, d), kan du bruke følgende formel, forklarte i denne MathWorld artikkel: (a, b) (c, d) = (ac - bd, bc + annonse)
    • Husk at et komplekst tall har en "ekte" og en "imaginær" del, med den sistnevnte er et reelt tall multiplisert med kvadratroten av en negativ, ofte referert til som I. Den komplekse tall (0, 0), for eksempel lik 0 0 I, og (-1, -1) er (-1) + (-1 * i).
    • Fortsatt med oss? Husk at et og c a> termer er reelle, og de ​​b og d b> vilkårene er innbilt. Så når de imaginære vilkår multipliseres sammen, gir kvadratroten av negative 1 multiplisert med seg selv negativ en, benektende resultatet og gjør det skikkelig, mens tallene ad og bc annonse> forbli imaginære, siden kvadratroten av negative 1 er fortsatt en løpetid på disse produktene. Derfor har vi ac - bd som den reelle delen, og bc + annonsen som den imaginære delen.
    • Nå, siden vi kvadrere tallene i stedet for å multiplisere to forskjellige tall, kan dette være forenklet litt, siden a = c og b = d, har vi produktet som (a 2-b 2, 2AB). Og siden vi arbeider med å kartlegge "komplekse planet" til "kartesiske planet", med x-aksen representerer "ekte" og y x> aksen representerer "usynlige", vil vi også henvise til dette som (x 2-y 2, 2xy) (x-y 2 2.
  • Vil du vite mer om å bedømme den absolutte verdien av et komplekst tall uten arbeidende gjennom beregningene?
    • Den absolutte verdi av et komplekst tall (a, b) er kvadratroten av a 2 + b 2, den samme som den formel for en rettvinklet trekant, siden a og b a> er representert i rett vinkel til hverandre på kartesiske rist (x-og y-koordinater, henholdsvis). Derfor, siden vi vet at Mandelbrot set er avgrenset av verdien 2, og kvadratet av to er fire, kan vi omgå å måtte tenke på kvadratrøtter bare ved å se om x 2 + y 2> = 4.
    • Hvis en etappe av en rett trekant har lengde> = 2, da hypotenusen (diagonal side) må også være lengre enn to. Hvis du ikke ser hvorfor det er slik, plotte noen rettvinklede trekanter på et kartesisk grid, og det vil bli åpenbart, eller bare tenke på det på denne måten: 2 2 = 4, og legger til et annet positivt tall til det (og kvadrere et negativt tall resulterer alltid i en positiv) kan ikke medføre noe mindre enn fire. Derfor, dersom enten x-eller y-komponenten av et komplekst tall har en styrke på 2 eller større, er den absolutte verdi av det tall som er større enn eller lik 2, og har unnsluppet Mandelbrotsettet.
  • For å beregne den "virtuelle bredde" i hver celle, dele den "virtuelle diameter" inn i "antall celler minus en". Vi bruker en virtuell diameter på 4 i eksemplene ovenfor, siden vi ønsker å vise alt innenfor radius av 2 (Mandelbrot set er avgrenset av verdien av to). For tre-sided tilnærming, dvs 4 / (3-1), som er 4/2, noe som tilsvarer 2. For ni-sided kvadrat, er det 4 / (9 - 1). 2.>, som er 4/8, noe som tilsvarer 0.5. Bruk samme virtuelle celle størrelse for både høyde og bredde, selv om du gjør en side lenger enn den andre, ellers Set vil bli forvrengt.
  • Hvis du beregne en celle igjen og igjen, og legge merke til et resultat som er akkurat det samme som du allerede har for denne cellen, vet du at du fanget i en uendelig løkke, at cellen vil aldri slippe unna! Så du kan ta en snarvei, farge som celle med den endelige fargen, og hoppe til neste. (0, 0) er tydeligvis en av disse cellene.

Advarsler

  • Matematikk kan bli svært vanedannende, som alt annet, men det sannsynligvis ikke vil skade leveren eller forårsake lungekreft.