Hvordan løse differensiallikninger

En full kurs i differensiallikninger innebærer bruk av derivater for å bli undersøkt etter to eller tre semester kurs i matematisk analyse. Et derivat er det graden av endring av en mengde i forhold til hverandre, for eksempel hastigheten som et objekts endringer med hensyn til tid (sammenlign til helling). Slike priser av endring dukke opp ofte i hverdagen. For eksempel, den lov fastslår at hastigheten av interesse opphopning er proporsjonal med start mengden av penger, gitt av dy / dt = ky, hvor y er summen av penger tjene sammensatte interesse, t er tid, og k er en konstant ( dt er en øyeblikkelig tidsintervall). Selv typisk, er kredittkort interesse forverret daglig og rapportert som apr, årlig prosentsats - ennå en differensialligning kan løses for å gi øyeblikkelig løsning y = ce ^ (kt), der c er en vilkårlig konstant (angitt rente). Denne artikkelen vil vise deg hvordan du kan løse typer differensialligninger vanlig forekommende, spesielt i mekanikk og.

1 trinn
- 1.1 Grunnleggende
- 1.2 Løse Første ordens differensiallikninger
- 1.3 Løse andre ordens differensiallikninger
- 1.4 Løse Høyere ordens differensiallikninger
2 Real Life Applications
3 tips
4 Advarsler
5 ting du trenger:
6 Relaterte Googles
7 Kilder og siteringer

Trinn

Hvordan løse differensiallikninger. Kjenn rekkefølgen og graden av differensialligningen.

Det grunnleggende

1
Definer derivat. Derivatet (også kalt differensial kvotient; spesielt Britisk) - grense for forholdet av tilveksten av en funksjon (som regel y) til inkrementet av en variabel (vanligvis x) i den funksjonen, ettersom sistnevnte har en tendens til 0; den øyeblikkelig endring av en mengde i forhold til en annen, som hastighet, som er den øyeblikkelig endring av avstanden med hensyn til tid. Sammenlign første deriverte, og den andre deriverte:
- Første deriverte - den deriverte av en funksjon, f.eks: "Velocity er den første deriverte av avstanden med hensyn til tid."
- Annenderiverte - den deriverte av den deriverte av en funksjon, f.eks: "Akselerasjon er den andre deriverte av avstanden med hensyn til tid."
2
Kjenn rekkefølgen og graden av differensialligningen. Rekkefølgen av en differensialligning bestemmes av den høyeste orden derivatet; graden bestemmes av den høyeste strøm på en variabel. For eksempel er differensialligningen vist i figur 1 av andreordens, tredje grad.
3
Vite forskjellen mellom en generell, eller komplett løsning kontra en bestemt løsning. En fullstendig oppløsning inneholder et antall vilkårlige konstanter har i rekkefølgen ligningen. (For å løse en n th differensialligningen, må du utføre n integrasjoner, og hver gang du integrere, du må introdusere en vilkårlig konstant.) For eksempel i rentes rente lov, differensiallikningen dy / dt = ky er av orden 1, og dens komplett løsning y = ce ^ (kt) har nøyaktig en vilkårlig konstant. En spesiell løsning blir oppnådd ved å tilordne bestemte verdier for konstantene i den generelle løsningen.

Dette er en lengre, mer detaljert innledende video på differensialligninger.

Løse første ordens differensiallikninger

En differensiallikning av første orden og første-graders kan uttrykkes som M dx + N dy = 0, der M og N er funksjoner av x og y. For å løse denne differensialligningen, gjør som følger:

1
Sjekk om variablene er separable. Variabel kan utskilles hvis differensialligningen kan uttrykkes som f (x) dx + g (y) dy = 0, hvor f (x) er en funksjon av x alene, og g (y) er en funksjon av y alene. Disse er de enkleste differensialligninger å løse. De kan integreres for å gi ∫ f (x) dx + ∫ g (y) dy = c, hvor c er en vilkårlig konstant. Her er en generell tilnærming. Se figur 2 som et eksempel.
- Klare fraksjoner. Hvis ligningen innebærer derivater, multiplisere gjennom av differensial av den uavhengige variabelen.
- Samle alle betingelser som inneholder den samme differensial i en enkelt sikt.
- Integrere hver del for seg.
- Forenkle uttrykket, ved å kombinere form, konvertering logaritmer til eksponenter, og bruker den enkleste symbol for vilkårlige konstanter, for eksempel.
  Denne videoen viser hvordan du kan løse separable differensialligninger.
2
sjekk for å se om differensialligningen er homogen sjekk> En differensialligning, M dx + N dy = 0, er homogen hvis utskifting av x og y ved λx og λy resultater i den opprinnelige funksjonen multiplisert med noen kraft λ, der makten av λ kalles graden av den opprinnelige funksjonen. I så fall følger du disse trinnene. Se figur 3 for et eksempel.
- La y = vx, så dy / dx = x (dv / dx) + v.
- Fra M dx + N dy = 0, har vi dy / dx =-M / N = f (v), siden y er en funksjon v.
- Så f (v) = dy / dx = x (dv / dx) + v. Nå variabelen x og v kan skilles: dx / x = dv / (f (v)-v)).
- Løs den nye differensialligningen med delbar variabel, og deretter bruke substitusjon y = vx å finne y.
  Denne videoen viser hvordan du kan løse homogene første ordens differensiallikninger.
3
Hvis differensialligningen ikke kan løses ved de to foregående metodene, se om du kan uttrykke det som en lineær ligning, i form av dy / dx + py = q, der P og Q er funksjoner av x alene, eller konstanter. Legg merke til at x og y kan brukes om hverandre her. I så fall gjør du følgende. Se figur 4 som et eksempel.
- La Y = uv, hvor u og v er funksjoner av x.
- Skille, for å få dy / dx = u (dv / dx) + v (du / dx).
- Setter inn dy / dx + Py = Q, for å få u (dv / dx) + v (du / dx) + PUV = Q, eller u (dv / dx) + (du / dx + Pu) v = Q.
- Bestem u ved å integrere du / dx + Pu = 0, hvor variablene er separerbare. Deretter bruke verdien av u innhentet for å finne v ved å løse u (dv / dx) = Q, der, igjen, variablene er separable.
- Til slutt bruker substitusjon y = uv å finne y.
  Denne videoen viser hvordan du kan løse første ordens lineære differensialligninger.
4
Løse Bernoulli ligningen: dy / dx + p (x) y = q (x) y ^n, som følger:
- La u y = ^1-n, slik at du / dx = (1-n) ^y-N (dy / dx).
- Således, y = u ^{1 / (1-n),} dy / dx = (du / dx) ^N y / (1-n) og y ⁿ = u ^{n / (1-n).}
- Substituerer disse inn i Bernoulli ligningen, og multiplisere gjennom ved (1-n) / u ^{1 / (1-n),} noe som resulterer i
  du / dx + (1-n) p (x), u = (1-n) q (x).
- Legg merke til at dette nå er en første-ordens lineær ligning i ny variabel u, og kan løses ved hjelp av teknikken ovenfor (trinn 3). Når løst, substituere tilbake y = u ^{1 / (1-n)} for den fullstendige løsning.
  Denne videoen viser hvordan du løse Bernoulli differensialligninger.

Løse andre ordens differensiallikninger

1
Sjekk om differensialligningen tilfredsstiller den form som er vist i ligning (1) i figur 5, der f (y) er en funksjon av y alene, eller en konstant. I så fall følger du fremgangsmåten som er beskrevet i figur 5.
2
Løse andre ordens lineære differensiallikninger med konstante koeffisienter: Sjekk om differensialligningen tilfredsstiller skjemaet vist i ligning (1) i Figur 6. I så fall kan differensialligningen løses ganske enkelt som en kvadratisk likning som demonstrert av de etterfølgende trinn:
Denne videoen viser egenskapene til de andre ordens lineære differensialligninger.

Denne videoen viser hvordan du kan løse de andre ordens lineære differensialligninger.

Denne morsomme videoen demonstrerer også hvordan å løse andre ordens lineære differensialligninger.
3
For å løse en mer generell andre-ordens lineære differensialligninger, sjekk for å se om differensialligningen tilfredsstiller skjemaet vist i ligning (1) i figur 7. I så fall kan differensialligningen løses med følgende trinn. Se de påfølgende trinnene i figur 7 for et eksempel.
- Løs eq. (1) fra figur 6 (hvor f (x) = 0) ved hjelp av fremgangsmåten som angitt ovenfor. La den komplette løsningen være y = u. u er den komplementære funksjon for ekv. (1) fra figur 7.
- Finne en bestemt løsning y = v av eq (1) fra Figur 7 av rettssaken. Følg denne fremgangsmåten:
  - Hvis f (x) er ikke en spesiell oppløsning av (1):
    - Hvis f (x) er i formen f (x) = a + bx, anta y = v = a + bx;
    - Hvis f (x) er i form f (x) = ae ^bx, antar y = v = Ae ^bx;
    - Hvis f (x) er i form f (x) = a ₁ cos bx + en ₂ sin bx, antar y = v = a ₁ cos bx + A ₂ sin bx.
  - Hvis f (x) er en spesiell oppløsning av (1), anta for v i skjemaet ovenfor multiplisert med x.
- Den fullstendige oppløsning av (1) er gitt ved y = u + v.
  
  Denne videoen viser hvordan du kan løse noen mer generelle andre ordens lineære differensialligninger.

Løse høyere ordens differensiallikninger

Høyere ordens differensialligninger er mye vanskeligere å løse, bortsett fra visse spesielle tilfeller, som følger:

1
Sjekk om differensialligningen tilfredsstiller den form som er vist i ligning (1) i figur 5, hvor f (x) er en funksjon av x alene, eller en konstant. I så fall følger du fremgangsmåten som er skissert i Figur 8.
2
Løse n th orden lineære differensiallikninger med konstante koeffisienter: Sjekk om differensialligningen tilfredsstiller skjemaet vist i ligning (1) i figur 9. I så fall kan differensialligningen løses på følgende måte:
3
For å løse en mer generell n th-order lineær differensialligning, sjekk for å se om differensialligningen tilfredsstiller skjemaet vist i ligning (1) i figur 10. I så fall kan differensialligningen løses i en fremgangsmåte som er analog til den som brukes for å løse andre ordens lineære differensialligninger som følger:

Virkelige søknader

1
Rentes rente lov: renten akkumulering er proporsjonal med start mengden av penger. Mer generelt, er frekvensen av forandring med hensyn til en uavhengig variabel proporsjonal med den tilsvarende verdien av funksjonen. Det vil si, hvis y = f (t), dy / dt = ky. Løse dette ved hjelp av metoden av adskillbare variabel, får vi y = CE ^ (knop), hvor Y er en sum penger akkumuleres ved sammensatte interesse, er c en vilkårlig konstant, k er renten, for eksempel, interessen i dollar på en dollar for et år, er t tid. Tid, derfor er penger.
- Merk at rentes rente lov gjelder for mange områder av dagliglivet. For eksempel anta at du prøver å fortynne en salt-løsning ved å kjøre vann inn i løsningen å redusere sin saltkonsentrasjon. Hvor mye vann trenger du for å legge til, og hvordan konsentrasjonen av løsningen endrer seg med hensyn til prisen du kjøre vann?
  La S = antallet av salt i oppløsningen til enhver tid, x = mengden av vann som har rent gjennom, og v = volum av løsningen. Saltkonsentrasjonen av blandingen er gitt ved s / v. Nå antar et volum Δx er lekket ut av løsningen, slik at mengden av salt er lekket ut (s / v) Δx, derav endring i mengden av salt, Δs, er gitt ved Δs = - (s / v) Δx. Dividere begge sider av Δx, for å få Δs / Δx = - (s / v). Ta den grense som Δx -> 0, og vi har ds / dx =-s / v, noe som er et differensial ligning i form av forbindelsen interesse lov, hvor y er nå s, t er nå x, og k er nå -1 / v.
- Newtons er nok en variant av forbindelsen interesse lov. Det fremgår at den tid-frekvensen av redusert kroppstemperatur som overstiger temperaturen i den omgivende luft er proporsjonal med kroppens temperatur over den omgivende luft. La x = kroppstemperatur over at av den omkringliggende luften, t = tid, vi har dx / dt = kx, der k er en konstant. Løsningen på dette differensialligning er x = CE ^ (knop), der c er et vilkårlig konstant, som ovenfor. Antar at dette overflødig temperatur, x, var på første 80 grader, og synker til 70 grader etter et minutt. Hva vil det bli etter 2 minutter?
  La t = tid i minutter, x = høy temperatur i grader, har vi 80 = ce ^ (k * 0) = c. Også, 70 = CE ^ (k * 1) = 80e ^ k, så k = ln (7/8). Slik at x = 70e ^ (ln (7/8) t) er en spesiell løsning på dette problem. Nå plug in t = 2, har vi x = 70e ^ (ln (7/8) * 2) = 53,59 grader etter 2 minutter.
- I atmosfæriske termodynamikk, atmosfærisk trykk p over havnivå endringer i forhold til høyde h over havet - enda en variant av rentes rente lov. Differensialligningen her er dp / dh = kh, der k er konstant.
- I, hastigheten til en kjemisk reaksjon hvori x er mengden transformert i tid t er tid-endringshastigheten av x. La a = konsentrasjon ved begynnelsen av reaksjonen, så dx / dt = k (ax), hvor k er konstant hastighet. Dette er en annen variant av rentes rente lov der (ax) er nå avhengig variabel. Ser at d (ax) / dt =-k (ax), så d (ax) / (ax) =-kdt. Integrere, for å få ln (ax) =-kt + en, siden ax = a ved tiden t = 0. Omorganisere, ser vi at hastigheten konstant k = (1 / t) ln (a / (ax)).
- I elektromagnetisme, gis en med spenningen V og strømmen I (ampere), blir spenningen V forbrukes i å overvinne motstanden R (ohm) av kretsen og induktansen L, som styres av ligningen V = iR + L (di / dt ), eller di / dt = (V - IR) / L. Dette er en annen variant av rentes rente lov, der V - iR er nå avhengig variabel.
2
I akustikk, har enkel harmonisk vibrasjon akselerasjon være direkte proporsjonal med den negative av avstanden. Husk at akselerasjonen er den andre deriverte av avstanden, så d ² s / dt + ² k ² s = 0, hvor S = avstanden, t = tid, og ^k-2 er størrelsen av akselerasjonen ved enhet avstand. Dette er den enkel harmonisk ligning, en andre ordens lineær differensialligning med konstante koeffisienter, som løses i figur 6, ligningene (9) og (10). Løsningen er s = c ₁ cos kt + c ₂ sin kt.
Dette kan forenkles ytterligere ved å sette c ₁ = b sin A, c ₂ = b cos A. Substitute disse i, for å få b synd A cos kt + b cos A sin kt. Husker fra trigonometri, at sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y, så uttrykket reduseres til s = b sin (kt + A). Bølgeformen adlyde enkel harmonisk ligningen svinger mellom b og-b, med periode 2π / k.
- Vibrerende våren: ta et objekt, med masse m, på en vibrerende våren. Av Hookes lov, når våren er strukket eller komprimerte s enheter fra sin naturlige lengde (eller likevekt posisjon), utøver det en fjæringskraft F proporsjonal s, eller F = - k ² s. Av Newtons andre lov (force er lik masse ganger akselerasjon), har vi md ² s / dt ² = - k ² s, eller md ² s / dt ² + k ² s = 0, som er et uttrykk for den enkle harmoniske ligningen.
- Dempet vibrasjoner: vurdere den vibrerende våren som ovenfor, med en demping. En dempekraften er noen virkning, slik som friksjon, som har en tendens til å redusere amplituden av svingningene i en oscillator. For eksempel kan en dempekraften være forsynt med en støtdemper i en bil. I de fleste tilfeller er dempekraften, F _d er omtrent proporsjonal med hastigheten av objektet, eller K = _d - c ² ds / dt, hvor c ² er en konstant. Kombinere dempekraften med dempning, har vi - k ² s - c ² ds / dt = md ² s / ² dt, av Newtons andre lov. Eller, md ² s / dt ² + c ² ds / dt + k ² s = 0. Dette differensialligning er en andre-ordens lineær likning som kan løses ved å løse den ekstra ligningen mr ² + c ² r + k ² = 0, etter å erstatte s = e ^ (rt).
  Løse dette ved den kvadratiske ligningen, får vi r = ₁ (- c ² + SQRT (c ^4-4 mk ²⁾⁾ / 2 m, R ₂ = (- c ² - SQRT (c ^4-4 mk ²⁾⁾ / 2 m.
  - Overdamping: Hvis c ⁴ - 4mk ^2> 0, ₁ r og r ₂ er reell og tydelig. Løsningen er s = c _en e ^ (r ₁ t) + c _to e ^ (r ₂ t). Siden ² c, m, og k ² er alle positive, sqrt (c ⁴ - 4mk ²⁾ må være mindre enn c ^2, noe som innebærer at både røtter, ₁ r og r _2, er negative, og funksjonen er i eksponentiell. I dette tilfellet betyr oscillasjon ikke forekomme. En sterk demping, for eksempel, kan bli levert av høy viskositet olje eller fett.
  - Kritisk demping: Ved c. ⁴ - 4mk ² = 0, _R1 = _R2 =-C ² / 2m. Løsningen er S = _(C1 + c ₂ t) e ^ ^((c-2/2 m) t). Dette er fortsatt eksponensiell desintegrasjon, med ingen oscillasjon. Imidlertid vil den minste reduksjon i demping kraft føre til at gjenstanden svinge forbi likevektspunktet.
  - Underdamping: Hvis c ⁴ - 4mk ² <0, røttene er komplekse, gitt av - c/2m + / - ω i, der ω = sqrt (4 mk ² - c ⁴⁾⁾ / 2 m. Løsningen er s = e ^ (- (c ² / 2m) t) (c ₁ cos ω t + c ₂ sin ω t). Dette er en svingning dempet med faktoren e ^ (-. (C ² / 2m) t Siden både c ² og m er positive, e ^ (- (c ² / 2m) t) vil gå til null når t nærmer seg uendelig. Så til slutt bevegelse vil forfalle til null.

Tips

Mange differensialligninger rett og slett ikke kan løses av de ovennevnte metodene. Metodene ovenfor, men nok til å løse mange viktige differensialligninger vanlig forekommende.
Innbytter løsningen tilbake til den opprinnelige differensialligningen, for å se om ligningen er fornøyd. Dette vil bekrefte at du har løst differensialligningen riktig.
Merk: det motsatte av differensialregning kalles integrert kalkulus, som omhandler summering av effektene av stadig skiftende mengder, for eksempel beregne avstand (sammenlignet med d = rt) dekket av et objekt når sine momentant priser (hastigheter) over en tidsintervall er kjent.

Advarsler

I motsetning til differensiering, i hvilken den deriverte av en gitt uttrykk kan beregnes, integralet av mange uttrykk simpelthen ikke kan beregnes. Så ikke kast bort tiden din prøver å integrere et uttrykk som ikke kan integreres. Bare sørge for å sjekke en tabell av integraler for å verifisere. Løsningen av en differensialligning anses utført når det er blitt redusert til et uttrykk som involverer integraler, enten selve integrering kan gjennomføres eller ikke.

Ting du trenger

Paper
Penn eller blyant
En tabell over integraler kan hjelpe