Hvordan beregne flere terninger sannsynligheter

Oppregning

1. 1
   Noter antall terninger, sine sider, og ønsket sum.
2. 2
   Nummerere alle måter at summen kan nås. Dette kan være kjedelig for et stort antall terninger, men er ganske grei. Dette tilsvarer å finne alle partisjoner av k til akkurat n deler med ingen del større enn r. Et eksempel for n = 5, R = 6, og k = 12 er vist som et eksempel. For å sikre at tellingen er både uttømmende og at ingen skillevegg telles to ganger, blir partisjoner presentert i lexicographic rekkefølge og terningene i hver partisjon i ikke-avtagende rekkefølge.
3. 3
   Ikke alle partisjoner som er oppført i forrige trinn er like sannsynlig. Dette er grunnen til at de må være oppført, ikke bare telles. I et mindre tre die eksempel dekker partisjonen 123 6 muligheter (123, 132, 213, 231, 312, 321) mens partisjonen 114 dekker bare 3 (114, 141, 411) og 222 bare omfatter selv. Bruk multinomisk formel for å beregne hvor mange måter å forandre rekkefølgen sifrene i hver partisjon. Denne informasjonen har blitt lagt på bordet fra forrige avsnitt.
4. 4
   Legg det totale antall måter for å få den ønskede sum.
5. 5
   Dividere med totalt antall resultater. Siden hver terning har r like sannsynlige ansikter, er dette rett og slett r ^n.

Rekursjon

Denne metoden gir sannsynligheten for alle summer for alle alle> antall terninger. Det kan lett implementeres på et regneark.

1. 1
   Legg merke sannsynlighetene for utfallet av en enkelt dø. Ta dem i et regneark. Eksempelet bruker 6-sidet terning. De blanke rader for negative summer blir behandlet som nuller og tillate den samme formel som skal brukes i alle rader.
2. 2
   I kolonnen for to terningene bruker formelen vist. Det er, lik sannsynligheten for to terninger som viser noen sum k summen av følgende hendelser. For svært høye eller lave verdier av k, kan noen eller alle eller disse vilkår være null, men formelen er gyldig for alle k.
   • Første die viser k-1 og den andre viser en.
   • Første die viser k-2 og den andre viser to.
   • Første die viser k-3 og den andre viser tre.
   • Først die viser k-4 og det andre indikerer 4..
   • Først die viser k-5 og det andre indikerer 5.
   • Først die viser k-6 og det andre indikerer 6..
3. 3
   Likeledes, for tre eller flere terninger, gjelder den samme formelen fortsatt, bruker nå kjente sannsynligheter for hver gitt sum på en dør færre. Således, kan formelen skrives i to trinn fylles både nedover og på tvers inntil bordet omfatter så mye data som kreves.
4. 4
   Regnearkskjermen vist beregnede "rekke måter" ikke "sannsynlighet", men konvertering mellom dem er lett: sannsynlighet = rekke måter / r ^ n hvor R er antall kanter på hver dør, og n er antallet av terningen. Alternativt kan arket bli modifisert til å beregne sannsynligheten direkte.

Genererer funksjoner

1. 1
   Skriv polynomet, (1 / r) (x + x + ² x ^R). Dette er den å generere funksjonen for en enkelt dør. Koeffisient x ^k sikt er sannsynligheten for at terningen viser k.
2. 2
   Hev dette polynomet til n ^th makt for å få tilsvarende genererer funksjon for summen vist på n terninger. Det er beregn (1 / r ⁿ⁾ (x + x + ² x ^{R) n.} Hvis n er større enn ca 2, vil du sannsynligvis ønske å gjøre dette på en datamaskin.
3. 3
   Beregningsmessig, er dette ekvivalent med den foregående metode, men noen ganger teoretiske resultater er lettere å utlede med en generering funksjon. For eksempel kaster to regulære seks-sidet terning har nøyaktig den samme fordeling av de beløp som en dyse som er merket (1, 2, 2, 3, 3, 4) og en annen som er merket (1, 3, 4, 5, 6, 8). Dette skyldes at (x + x + x ² x ² + ³ + ³ + x x ^{4) til} (x + x + x ³ x ⁴ + ⁵ + ⁶ + x x ⁸⁾ = (x + x + ² x ³ + x ⁴ + ⁵ + x x ⁶⁾ (x + x + ² x ³ x ⁴ + + ⁵ + x x ^6).

Kontinuerlig tilnærming

1. 1
   For et stort antall terninger, kan nøyaktig beregning av de ovenfor nevnte fremgangsmåter være vanskelig. Sentralgrensesetningen sier at en summen av et antall like terninger nærmer seg en normalfordeling som antall terninger øker.
2. 2
   Beregn gjennomsnitt og standard variant basert på antall og type terninger. Forutsatt n terninger nummerert fra 1 til r, formlene nedenfor gjelder.
   • Den mener er (r +1) / 2.
   • Variansen er N (R '^ 2-1) / 12.
   • Standardavviket er kvadratroten av variansen.
3. 3
   Bruk normal fordeling med ovenfor gjennomsnitt og standardavvik som en tilnærming av summen av terningene.